Question

Запишите уравнение второго закона Ньютона для движения тела со скоростью V по круговой орбите вокруг массивного тела с радиусом R и массой М. Получите выражение для круговой скорости V1.

Answer 1

Ответ:    Первую космическую скорость можно найти по формуле

U1 = √G*M/R

Объяснение: Второй закон Ньютона гласит: в инерциальных системах отсчёта ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки. Закон имеет вид  a = F/m.

По закону всемирного тяготения (того же Ньютона) сила гравитационного взаимодействия тел определяется выражением F = G*M*m/R²,  здесь -  G гравитационная постоянная; M и m - массы взаимодействующих тел;  R  - расстояние между центрами масс тел.  Следовательно второй закон Ньютона можно записать в виде a = F/m = G*M*m/R²m = G*M/R². Для планет это означает, что величина G*M/R² есть ускорение свободного падения (т.е. g) на поверхности планеты. Это ускорение является центростремительным ускорением для тела, двигающегося по круговой орбите вокруг планеты.  Это с одной стороны. С другой стороны, чтобы тело, имеющее скорость U двигалось бы по окружности радиусом R, надо, чтобы на тело действовало бы центростремительное ускорение равное а = U²/R. Таким образом, можно записать равенство  g = а. Запишем вместо обозначений ускорений их математические выражения, имеем G*M/R² = U²/R. Сократив левую и правую часть уравнения на R имеем U² = G*M/R. И окончательно имеем  U = √G*M/R.  Применив данное выражение можем найти первую космическую скорость для какого-нибудь шарообразного массивного тела.

Answer 2

Уравнение второго закона Ньютона для движения тела по круговой орбите может быть записано следующим образом:

F = m * a,

где F - сила, действующая на тело, m - масса тела, a - центростремительное ускорение.

Сила, действующая на тело, является силой гравитационного притяжения, которая определяется формулой:

F = G * ((М * m) / R^2),

где G - гравитационная постоянная.

Подставляя это выражение для силы в уравнение второго закона Ньютона, получаем:

G * ((М * m) / R^2) = m * a.

Масса m сокращается, и мы получаем:

G * (М / R^2) = a.

Центростремительное ускорение a в данном случае равно круговому ускорению, умноженному на радиус орбиты R. Также круговое ускорение можно записать как скорость, возведенная в квадрат и разделенная на радиус орбиты:

a = V^2 / R.

Подставляя это выражение в уравнение, получаем:

G * (М / R^2) = V^2 / R.

Чтобы найти выражение для круговой скорости V1, мы можем переставить элементы уравнения:

V^2 = G * (М / R).

Возведя обе стороны уравнения в квадрат и извлекая корень, получаем:

V = sqrt(G * (М / R)).

Таким образом, выражение для круговой скорости V1 в данном случае будет:

V1 = sqrt(G * (М / R)).