Question

Большая полуось и эксцентриситет орбиты Меркурия равны 0,387 а.е. и 0,206, а Марса – 1,524 а.е. и 0,093. Найти среднюю скорость этих планет, скорость в перигелии и в афелии.​

Answer 1

Ответ:  Средние скорости: Меркурий ≈ 47,88 км/с;  Марс ≈ 24,13 км/с

Скорости в перигелии;  Меркурий ≈ 59,00 км/с;   Марс ≈ 26,49 км/с.

Скорости в афелии; Меркурий ≈ 38,14  км/с;    Марс ≈ 21,98 км/с.

Объяснение:

Дано:

1. Большая полуось орбиты Меркурия А1 = 0,387 а.е. = 0,387*1,496*10^11 м

   Эксцентриситет орбиты  Меркурия  е1 = 0,206

2. Большая полуось орбиты Марса А2 = 1,524 а.е. = 1,524*1,496*10^11 м

   Эксцентриситет орбиты  Марса е2 = 0,093

   Большая полуось орбиты Земли Аз = 1 а.е.

  Период обращения Земли вокруг Солнца  Тз = 1 год

  Масса Солнца Мс = 1,9885*10^30 кг

 Гравитационная постоянная  G = 6,6743*10^-11 м³/кг*с²

Найти:

Средние орбитальные скорости планет  V1 - ?  и   V2 - ?

Скорости планет в перигелии и в афелии  V1п- ?  и   V1а - ?

                                                                       V2п - ?  и  V2а - ?  

Вначале по третьему закону Кеплера найдем периоды обращения планет вокруг Солнца.  В соответствии с этим законом Тз²/Тп² = Аз³/Ап³,  здесь Тп – период обращения планеты вокруг Солнца;   Ап – большая полуось орбиты планеты.  Из закона Кеплера Тп² = Тз²*Ап³/Аз³.  Отсюда Тп = √(Тз²*Ап³/Аз³).

Период обращения Меркурия Т1 = √(Тз²*А1³/Аз³) = √(1²*0,387³/1³) = √0,387³ = 0,24075 года.

В секундах период обращения Меркурия (Т1с) будет равен: Т1с = Т1*365,25*24*60*60 = 0,24075*365,25 * 24*60*60 с

Длина орбиты Меркурия     S1= 2π*А1 = 2π*0,387*1,496*10^11 м. Тогда средняя скорость Меркурия по орбите V1 = S1/Т1c  = 2π*0,387*1,496*10^11/0,24075*365,25* 24*60*60 ≈ 47879,78 м/с ≈ 47,88 км/с

Период обращения Марса  Т2 = √(Тз²*А2³/Аз³) = √(1²*1,524³/1³) = √1,524³ = 1,8814 года

В секундах период обращения Марса (Т2с) будет равен: Т2с = Т2*365,25*24*60*60 = 1,524*365,25*24*60*60

Длина орбиты Марса S2 = 2π*А2 = 2π*1,524*1,496*10^11 м. Тогда средняя скорость Марса по орбите

V2 = S2/Т2c  = 2π*1,524*1,496*10^11/1,8814*365,25* 24*60*60 ≈ 24127,44  м/с ≈ 24,13 км/с

Чтобы найти скорости планет в афелии и перигелии надо найти расстояния от планет до Солнца в афелии и перигелии.  В общем случае расстояние от планеты до Солнца в афелии Sa = A(1+e),  Расстояние в перигелии Sп = A(1- e),  

Тогда расстояние до Солнца Меркурия в афелии S1a = А1(1 + е1) = 0,387*1,496*10^11*1,206, в перигелии S1п = А1(1 - е1) = 0,387*1,496*10^11*0,794.

Расстояние Марса от Солнца в афелии S2a = А2(1 + е2) = 1,524*1,496*10^11*1,093, в перигелии  

S2п = А2(1 - е2) = 1,524*1,496*10^11*0,907.

Теперь можно найти скорости планет в этих точках орбиты. В общем случае скорость планеты определяется выражением:       V = √G*Mс*{(2/S) – (1/A)}

Для Меркурия скорость в афелии   V1а =  √G*Mс*{(2/S1а) – (1/A1)} подставив в формулу числовые значения параметров, имеем;      V1а =  √6,6743*10^-11 *1,9885*10^30 *{(2/0,387*1,496*10^11*1,206) – (1/0,387*1,496*10^11)} ≈ 38140 м/с  ≈ 38,14 км/с.

Скорость в перигелии V1п =  √G*Mс*{(2/S1п) – (1/A1)} подставив в формулу числовые значения параметров, имеем; V1а =  √6,6743*10^-11 *1,9885*10^30 *{(2/0,387*1,496*10^11*0,794) – (1/0,387*1,496*10^11)} ≈ 59008  м/с  ≈ 59,00 км/с.

Для Марса скорость в афелии V2а =  √G*Mс*{(2/S2а) – (1/A2)} подставив в формулу числовые значения параметров, имеем; V1а =  √6,6743*10^-11 *1,9885*10^30 *{(2/1,524*1,496*10^11*1,093) – (1/1,524*1,496*10^11)} ≈  21978,6 м/с  ≈ 21,98 км/с.

Скорость в перигелии  V2п =  √G*Mс*{(2/S2п) – (1/A2)} подставив в формулу числовые значения параметров, имеем; V1а =  √6,6743*10^-11 *1,9885*10^30 *{(2/1,524*1,496*10^11*0,907) – (1/1,524*1,496*10^11)} ≈  26485,8 м/с  ≈ 26,49 км/с.

Answer 2

Для расчета средней скорости, скорости в перигелии и в афелии планет необходимо использовать законы Кеплера и закон всемирного тяготения.

Средняя скорость (V_avg) планеты вокруг Солнца может быть вычислена с помощью следующей формулы:

V_avg = sqrt(GM_s / a),

где G - гравитационная постоянная (6,67430 × 10^(-11) м^3⋅кг^(-1)⋅с^(-2)), M_s - масса Солнца (1,989 × 10^30 кг), a - большая полуось орбиты планеты.

Таким образом, средние скорости для Меркурия и Марса можно вычислить следующим образом:

V_avg_mercury = sqrt((6,67430 × 10^(-11) м^3⋅кг^(-1)⋅с^(-2)) * (1,989 × 10^30 кг) / (0,387 а.е. * 1,496 × 10^11 м/а.е.)),

V_avg_mars = sqrt((6,67430 × 10^(-11) м^3⋅кг^(-1)⋅с^(-2)) * (1,989 × 10^30 кг) / (1,524 а.е. * 1,496 × 10^11 м/а.е.)).

Для определения скорости в перигелии (V_per) и афелии (V_apo) планеты, используем закон сохранения энергии:

V_per = sqrt((2GM_s / (a * (1 + e))),

V_apo = sqrt((2GM_s / (a * (1 - e))),

где e - эксцентриситет орбиты.

Таким образом, скорости в перигелии и афелии для Меркурия и Марса могут быть рассчитаны следующим образом:

V_per_mercury = sqrt((2 * (6,67430 × 10^(-11) м^3⋅кг^(-1)⋅с^(-2)) * (1,989 × 10^30 кг)) / (0,387 а.е. * (1 + 0,206))),

V_apo_mercury = sqrt((2 * (6,67430 × 10^(-11) м^3⋅кг^(-1)⋅с^(-2)) * (1,989 × 10^30 кг)) / (0,387 а.е. * (1 - 0,206))),

V_per_mars = sqrt((2 * (6,67430 × 10^(-11) м^3⋅кг^(-1)⋅с^(-2)) * (1,989 × 10^30 кг)) / (1,524 а.е. * (1 + 0,093))),

V_apo_mars = sqrt